Lead Field Matrix (磁場導出行列)

Lead Field行列は字義通りとれば、電場や磁場などを導き出す行列です。
電流双極子dがN個あるとき、Mヶ所のセンサーで検出される電位Φの大きさ、 もしくは電流双極子qがN個あるとき、Mヶ所のセンサーで検出される磁場Bの大きさ（但しある一定の方向成分） は

で示されます。行列で書くと

となります。このLが電位導出行列 or 磁場導出行列です。 計測された脳波や脳磁図データから電流源を推定するときに使われます。
肝心のL_ijはどうやって計算するのか？
実はこれが大問題（順問題といいます）です。たぶん


簡易版	Biot-Savart	位置情報のみ
臨床現場	脳波：３層球モデル 脳磁図：球モデル(Sarvas)	球の作成
研究者用	境界要素法 有限要素法	メッシュ作成

に基づいてLead Filed行列を用いていると思います。 私はまだ境界要素法や有限要素法を理解してないので、これに基づいたLead Field行列を作ったことはありません。

脳磁図の現場ではほとんどがSarvasの式に基づいた磁場導出行列を用いていると思います。 そこでSarvasの式に基づいたVectorView用の磁場導出行列を作成するSCEファイルを作ることにしました。

algorithmは
1. 任意の点の法線ベクトル算出
2. z軸方向の接平面のベクトル算出
3. 1と2のベクトルの外積からもう一つの接平面のベクトル算出
4. Sarvasの式に基づいて任意の点における磁場導出行列を算出
です。
2のベクトルの求め方ですが、 半径1の球面上の点（x,y,z）を球座標に変換して

とし、接平面のφ方向のベクトルを

としました。
1と2のベクトルが平行である場合には、3の接平面方向のベクトルを(1,0,0)としました。
CalcLFM.sceは
• CalcLFM
• CalcVectorViewLFM
• CalcTangentialVectors
• ConversionCoordination
• Sarvas
の５つの関数を１つのSCEファイルにまとめたものです。 Matlabの関数Mファイルのサブ関数と異なり、 Scilabでは５つの別個の関数として認識されます。


関数CalcLFMは下の４つの関数をまとめたものです。


関数Sarvasは、今まで用いてきたSarvas.sceと同一ですが、複素数を出力しないようにしています。


関数ConversionCoordinationはVectorViewのcoilの位置、向きの座標を device座標から頭座標に変換する関数です。


関数CalcTangentialVectorsは任意の点における、 法線方向の単位ベクトルと接平面方向の２つの単位ベクトルを計算する関数です。 法線方向が(0,0,1)の接平面方向のベクトルは(1,0,0)と(0,0,1)にしています。


関数CalcVectorViewLFMは最終的なVectorViewの磁場導出行列を作成する関数です。 wmという変数がありますが、magnetometerとgradiometerの重み付けに用います。

VectorViewの各チャンネルにおける信号の強さは以下の式で求めます。

ここで
b_kはk番目のチャンネルの磁場信号、
N_kはk番目のチャンネルの計算点総数、
w_kpはk番目のチャンネルのp番目の計算点の重み付け、
B (r_kp )はk番目のチャンネルのp番目の計算点の磁場ベクトル、
n_kpはk番目のチャンネルのp番目の計算点の法線ベクトル、
です。
ここでは下記の表を用いています。


coil	Nk	position r/mm	wkp
magnetometer	4	±12.9,±12.9,0.3	1/4
gradiometer	2	±8.4, 0,0.3	±1/1.68cm