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ラゲール(Laguerre)の多項式
ラゲールの多項式は以下の通りです。
clear;close all; figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off','position',[50,50,500,150]); text(0,0.5,'$$L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}\left(x^ne^{-x}\right)$$','interpreter','latex','FontSize',18); axis off;
R2014b以降のSymboic Math Toolbox ver 6.1にはlaguerreLという関数が用意されています。
clear;close all; seg=100; x=linspace(-1,1,seg)*50; figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off'); L=zeros(7+1,seg); for n=0:3 L(n+1,:)=laguerreL(n,x); end; plot(x,L); title('Laguerre polynomials');
ラゲールの陪多項式
laguerre陪多項式は以下の式です。
clear;close all; figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off','position',[50,50,500,150]); text(0,0.5,'$$L_n^k(x)=\frac{d^k}{dx^k}\left(e^x\frac{d^n}{dx^n}\left(x^ne^{-x}\right)\right)$$','interpreter','latex','FontSize',18); axis off;
残念ながらlaguerreL関数は陪多項式には対応していません。 式は簡単なので以下のような関数Mファイルを作成しました。 copy & pasteして、コメント解除をしてhns_laguerre.mという名前で保存してください。
% function L=hns_laguerre(n,x) %nは0～7まあでの次数 xはベクトル % L=[]; % sz=size(x); % if numel(sz)~=2;return;end; % if prod(sz-[1,1])~=0;return;end;% ベクトルに限る % if n-floor(n)~=0;return;end;%整数に限る % x=x(:); % % L=zeros(length(x),n+1); % A=[];for nn=0:n;A=[x.^nn,A];end; % L=A*B(C(n)); % if sz(1)==1;L=L';end; % %% % function R=B(k) % n=length(k); % kk=zeros(n,n); % for m=1:n % kk(m,:)=k; % k=k.*[(n-1):-1:0]; % k=[0,k(1:end-1)]; % end; % R=kk'; % %% % function R=C(n) % if n==0;R=1;return; % elseif n==1;R=[-1,1];return; % end; % L0=1;L1=[-1,1]; % for m=1:(n-1) % L2=[-1*L1,0]+(m*2+1)*[0,L1]-m^2*[0,0,L0]; % L0=L1; % L1=L2; % end; % R=L2;
clear;close all; seg=100; x=linspace(-1,1,seg)*50; for n=0:7 L=hns_laguerre(n,x); for m=1:size(L,1) figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off','position',[50,50,300,300]);; plot(x,L(m,:)); axis tight;grid on; title(sprintf('L_%d^%d',n,m-1)); end; end;
水素様原子の動径関数
水素様原子の動径関数は以下の通りです。 電子が２個以上になると互いに電気的に反発するので分布が変わります。互いの反発がないと仮定したときの起動です。
clear;close all; figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off','position',[50,50,700,200]); st1='$$a_0=0.529\times 10^{-10} [m]$$'; st2='$$R(r)=-\left(\frac{2}{na_0}\right)^{3/2}\sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}\exp\left(-\frac{r}{na_0}\right)r^lL_{n+l}^{2l+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right)$$'; text(-0.1,0.75,st1,'interpreter','latex','FontSize',18); text(-0.1,0.25,st2,'interpreter','latex','FontSize',18); axis off;
グラフ表示します。
clear;close all; a0=0.529*1e-10; n=1;l=0; seg=100; r=linspace(0,1,seg)*4e-9; for n=0:5 R2=exp(-r/n/a0); for l=0:n if n-l-1<0;continue;end; L=hns_laguerre(n+l,2*r/n/a0); R1=-(2/n/a0)^1.5*sqrt(factorial(n-l-1)/2/n/factorial(n+l)); R3=r.^l; R4=L(2*l+2,:); R=R1*R2.*R3.*R4; figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off','position',[50,50,300,300]); plot(r,R);grid on; set(gca,'position',[0.1,0.1,0.8,0.75]); st=sprintf('%d',n); switch l case 0;st=[st,'s']; case 1;st=[st,'p']; case 2;st=[st,'d']; case 4;st=[st,'f']; case 5;st=[st,'g']; case 6;st=[st,'h']; end; st=[st,sprintf(' R_%d^%d',n,l)]; title(st,'FontSize',15); end; end;
水素様原子の動径分布
電子の存在確立である動径分布は以下の式だそうです。
clear;close all; figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off','position',[50,50,100,100]); st1='$$r^2R(r)^2$$'; text(-0.1,0.5,st1,'interpreter','latex','FontSize',18); axis off;
グラフにしました。
clear;close all; a0=0.529*1e-10; n=1;l=0; seg=100; r=linspace(0,1,seg)*4e-9; for n=0:5 R2=exp(-r/n/a0); for l=0:n if n-l-1<0;continue;end; L=hns_laguerre(n+l,2*r/n/a0); R1=-(2/n/a0)^1.5*sqrt(factorial(n-l-1)/2/n/factorial(n+l)); R3=r.^l; R4=L(2*l+2,:); R=(R1*R2.*R3.*R4.*r).^2; figure('color',[1,1,1],'InvertHardCopy','off','position',[50,50,300,300]); plot(r,R);grid on; set(gca,'position',[0.1,0.1,0.8,0.75]); st=sprintf('%d',n); switch l case 0;st=[st,'s']; case 1;st=[st,'p']; case 2;st=[st,'d']; case 4;st=[st,'f']; case 5;st=[st,'g']; case 6;st=[st,'h']; end; st=[st,sprintf(' R_%d^%d',n,l)]; title(st,'FontSize',15); end; end;
